공부법에 대한 방향만 잘 잡으면, 그 공부법에 따라 수학 공부를 하면 수학 1등급은 절대로 꿈이 아니다. 물론 누구나 1등급이 될 수는 없겠지만, 최소한 수학이라고 하면 이를 갈고 치를 떠는 현실에서는 반드시 벗어날 수 있다. 성적은 무조건 오른다. 이건 내게 있어 절대적인 확신이다. 나는 내 학원을 넘어 우리나라 모든 학생들에게 수학 공부에 대한 내 노하우를 공개하기로 맘먹었다. 이 책은 그 결심의 첫 열매다. _21쪽

대학 입시는 아이의 타고난 DNA가 아니라 그 아이가 고등교육 과정을 얼마나 충실히 잘 따라왔느냐를 평가하는 시험이다. 수학 공부에 있어서 IQ가 좋은 것은 충분조건일 뿐 필요조건이 아니다. 도움은 되지만 결정적인 것은 아니라는 것을 내가 가르친 수많은 제자들이 정확히 증명하고 있다. 1등급 1,000명 중 한두 명은 정말 머리가 좋은 아이들이지만 대부분의 1등급은 후천적으로 ‘만들어진다.’ _41쪽

예를 들어 목적지에 가는 중간에 진흙 길이 있다고 하자. 우회로가 있는데 굳이 그 진흙 길로 가면서 옷에 진흙이 전혀 튀지 않게 하는 것이 가능한가? 굳이 연산을 많이 해야 하는 장황하고 미련한 풀이를 선택하면서 실수를 하지 않기를 바란다면 그건 진흙 길을 가면서 옷에 흙이 묻지 않기를 바라는 것과 같다. 실수가 문제가 아니라 풀이 과정 선택이 문제였던 것이다. 대부분의 수학 문제에는 풀이 방법이 한 가지만 있지 않다. 창의적 접근으로 다양한 풀이법이 얼마든지 나올 수 있는 것이 수학이라는 학문이다. 이런 풀이법 중 가장 간결하고 명쾌하며 과정이 짧은 방법을 선택하면 연산 횟수가 줄고 실수도 자연히 줄어들게 된다. 그것이 바로 ‘문제풀이 최적화’다. _49쪽

웬만한 강심장이 아니고서는 소신을 지키기가 쉽지 않다. 무소의 뿔처럼 한 곳만 바라보며 뚜벅뚜벅 걸을 수 있는 환경이 못 된다. 시간과 노력, 경제적인 투자가 허무한 결과로 나타날 수도 있다. 질질 끌려다녀서는 대치동에서는 필패다. 수많은 성공 사례만큼이나 망가질 확률도 높은 동네가 바로 대치동이다. 아이들은 번아웃돼 어떤 것에도 강렬한 욕구나 열망을 보이지 않는 상태로 ‘병든 어른’이 될 수 있다. 충심을 다해 말하고 싶다. 현재 사는 동네에서 중간 하느니 대치동에서 꼴찌를 하는 게 낫겠다는 어설픈 생각은 위험하다. _77쪽

우리나라 학생 가운데 70~80퍼센트가 수학 포기자라고 한다. 자신감이 있으면 포기하지 않는다. 자신감이 있는데 왜 포기를 하겠는가? 그러니 수학 공부를 하기 전에 꼭 마음에 새겨야 한다. 자신감이 먼저고, 자신감이 생기면 스스로 연습하게 되며, 연습할수록 실력이 늘고, 실력이 늘면 당연히 점수가 높아진다! _97쪽

선행의 최종 목적과 가장 큰 효능은 ‘문제풀이 최적화’이다. 제대로 된 선행을 하면 문제를 풀 수 있는 도구를 다양하게 사용할 수 있다. 그래서 정석을 초등 5학년 때 시작하든 6학년 때 시작하든 중학교 3학년 때 시작하든, 그 시기는 전혀 중요하지 않다. 내 아이가 중학교 3학년인데 아직 정석을 들어가지 못했다고 기죽을 필요도 없고, 초등학교 4학년 때 정석을 시작했다고 으쓱할 필요도 없다는 뜻이다. 선행을 망설이는 학부모에게 나는 이렇게 묻는다. ‘아는 것이 힘’인 아이로 키울 것인가, ‘모르는 것이 약’인 아이로 키울 것인가? _108쪽

문제풀이 최적화’는 수학 문제를 풀 때 이 문제를 풀 수 있는지 없는지를 고민하는 것이 아니라 ‘어떤 방법으로’ 풀 것인지를 고민하는 문제풀이 접근법을 말한다. 비유하자면, 산의 정상을 올라가는데 A 코스로 갈 것인지 B 코스로 갈 것인지 아니면 케이블카를 타고 오를 것인지 등 정상을 공략하는 가장 효율적이고 쉬운 방법을 찾아내는 것이다. _167쪽

아이의 수학적 자신감이 퐁퐁 솟아난다. 중학교 문제집을 던져줘도 할 수 있을 것 같은 생각이 샘솟는다. 수학은 이렇게 공부해야 한다. 초등학교 때 이런 개념을 머릿속에 넣어둔 아이와 그렇지 않은 아이는 중등수학을 만나는 태도가 하늘과 땅 차이다. 수학에 대한 자신감이 하늘을 찌른다. 초등수학에서는 정사각형의 넓이를 구하는 문제에서 보통 4나 9, 16, 25만 나온다. 이런 문제에서 10을 던져줘보자. 아이들의 지적 호기심이 폭발하고, 이때 형성된 뉴런과 시냅스는 응용 사고와 창의력에 엄청난 능력을 발휘하게 된다. 교과수학이 사고력수학, 창의력수학으로 바뀌는 순간이다. _232쪽

그래서 인수분해 공식은 문자의 구구단이라는 것이다. 인수분해를 못하면 문자식의 약분, 통분, 방정식, 함수, 수열, 극한 등 문자 중심의 고등수학 대부분의 단원에서 발목이 잡힌다. 마치 초등수학에서 구구단을 못하면 아무것도 할 수 없는 것과 같은 이치다. 인수분해 단원을 공부할 때는 무조건 공식부터 외우게 하는 게 아니라 먼저 이런 개념을 넣어주어야 한다. 이게 마중물이다. 인수분해 공식은 중학교 때 6, 7개에서 고등학교 때 10개가 넘어가고, 변형까지 합치면 2, 30개에 달한다. 이유도 목적도 모르는 채 이 많은 공식을 무조건 외워야 한다면 얼마나 고통스럽겠는가! _237쪽