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[Book] Analysis: Second Edition

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상품상세정보
ISBN 9780821827833(0821827839)
쪽수 348쪽
언어 English
크기 183(W) X 259(H) (mm)
제본형태 Hardcover
총권수 1권
Textual Format Textbooks, Lower level
리딩지수 Level Scholarly/Undergraduate

책소개

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목차

Preface to the First Edition xvii
Preface to the Second Edition xxi
Measure and Integration 1 (40)
Introduction 1 (3)
Basic notions of measure theory 4 (5)
Monotone class theorem 9 (2)
Uniqueness of measures 11 (1)
Definition of measurable functions and 12 (5)
integrals
Monotone convergence 17 (1)
Fatou's lemma 18 (1)
Dominated convergence 19 (2)
Missing term in Fatou's lemma 21 (2)
Product measure 23 (1)
Commutativity and associativity of product 24 (1)
measures
Fubini's theorem 25 (1)
Layer cake representation 26 (2)
Bathtub principle 28 (1)
Constructing a measure from an outer measure 29 (2)
Uniform convergence except on small sets 31 (1)
Simple functions and really simple functions 32 (2)
Approximation by really simple functions 34 (2)
Approximation by C∞ functions 36 (5)
Exercises 37 (4)
Lp-Spaces 41 (38)
Definition of Lp-spaces 41 (3)
Jensen's inequality 44 (1)
Holder's inequality 45 (2)
Minkowski's inequality 47 (2)
Hanner's inequality 49 (2)
Differentiability of norms 51 (1)
Completenes of Lp-spaces 52 (1)
Projection on convex sets 53 (1)
Continuous linear functionals and weak 54 (2)
convergence
Linear functionals separate 56 (1)
Lower semicontinuity of norms 57 (1)
uniform boundedness principle 58 (2)
Strongly convergent convex combinations 60 (1)
The dual of Lp (Ω) 61 (3)
Convolution 64 (1)
Approximation by C∞-functions 64 (3)
Separability of Lp (Rn) 67 (1)
Bounded sequences have weak limits 68 (1)
Approximation by C∞c-functions 69 (1)
Convolutions of functions in dual Lp 70 (1)
(Rn)-spaces are continuous
Hilbert-spaces 71 (8)
Exercises 75 (4)
Rearrangement Inequalities 79 (18)
Introduction 79 (1)
Definition of functions vanishing at 80 (1)
infinity
Rearrangements of sets and functions 80 (2)
The simplest rearrangement inequality 82 (1)
Nonexpansivity of rearrangement 83 (1)
Riesz's rearrangement inequality in 84 (3)
one-dimension
Riesz's rearrangement inequality 87 (6)
General rearrangement inequality 93 (1)
Strict rearrangement inequality 93 (4)
Exercises 95 (2)
Integral Inequalities 97 (26)
Introduction 97 (1)
Young's inequality 98 (8)
Hardy-Littlewood-Sobolev inequality 106 (4)
Conformal transformations and stereographic 110 (4)
projection
Conformal invariance of the 114 (3)
Hardy-Littlewood-Sobolev inequality
Competing symmetries 117 (2)
Proof of Theorem 4.3: Sharp version of the 119 (1)
Hardy-Littlewood-Sobolev inequality
Action of the conformal group on optimizers 120 (3)
Exercises 121 (2)
The Fourier Transform 123 (12)
Definition of the L1 Fourier transform 123 (2)
Fourier transform of a Gaussian 125 (1)
Plancherel's theorem 126 (1)
Definition of the L2 Fourier transform 127 (1)
Inversion formula 128 (1)
The Fourier transform in Lp (Rn) 128 (1)
The sharp Hausdorff-Young inequality 129 (1)
Convolutions 130 (1)
Fourier transform of /x/αn 130 (1)
Extension of 5.9 to Lp (Rn) 131 (4)
Exercises 133 (2)
Distributions 135 (36)
Introduction 135 (1)
Test functions (The space D (Ω) 136 (1)
Definition of distributions and their 136 (1)
convergence
Locally summable functions, Lploc (Ω) 137 (1)
Functions are uniquely determined by 138 (1)
distributions
Derivatives of distributions 139 (1)
Definition of W1,p loc (Ω) and W1,p 140 (2)
(Ω)
Interchanging convolutions with 142 (1)
distributions
Fundamental theorem of calculus for 143 (1)
distributions
Equivalence of classical and distributional 144 (2)
derivatives
Distributions with zero derivatives are 146 (1)
constants
Multiplication and convolution of 146 (1)
distributions by C∞-functions
Approximation of distributions by 147 (1)
C∞-functions
Linear dependence of distributions 148 (1)
C∞ (Ω) is 'dense' in W1,p loc 149 (1)
(Ω)
Chain rule 150 (2)
Derivative of the absolute value 152 (1)
Min and Max of W1,p-functions are in W1,p 153 (1)
Gradients vanish on the inverse of small 154 (2)
sets
Distributional Laplacian of Green's 156 (1)
functions
Solution of Poisson's equation 157 (2)
Positive distributions are measures 159 (4)
Yukawa potential 163 (3)
The dual of W1,p (Rn) 166 (5)
Exercises 167 (4)
The Sobolev Spaces H1 and H1/2 171 (28)
Introduction 171 (1)
Definition of H1 (Ω) 171 (1)
Completeness of H1 (Ω) 172 (1)
Multiplication by functions in C∞ 173 (1)
(Ω)
Remark about H1 (Ω) and W1,2 (Ω) 174 (1)
Density of C∞ (Ω) in H1 (Ω) 174 (1)
Partial integration for functions in H1 (Rn) 175 (2)
Convexity inequality for gradients 177 (2)
Fourier characterization of H1 (Rn) 179 (2)
Heat kernel 180 (1)
Δ is the infinitesimal generator of 181 (1)
the heat kernel
Definition of H1/2 (Rn) 181 (3)
Integral formulas for (f/p/f) and (f, 184 (1)
√p2 +m2 f)
Convexity inequality for the relativistic 185 (1)
kinetic energy
Density of ∞c (Rn) in H1/2 (Rn) 186 (1)
Action of √-Δ and 186 (1)
√-Δ + m2 - m on distributions
Multiplication of H1/2 functions by 187 (1)
C∞-functions
Symmetric decreasing rearrangement 188 (2)
decreases kinetic energy
Weak limits 190 (1)
Magnetic fields: The H1A-spaces 191 (1)
Definition of H1A(Rn) 192 (1)
Diamagnetic inequality 193 (1)
C∞c (Rn) is dense in H1A(Rn) 194 (5)
Exercises 195 (4)
Sobolev Inequalities 199 (38)
Introduction 199 (2)
Definition of D1 (Rn) and D1/2 (Rn) 201 (1)
Sobolev's inequality for gradients 202 (2)
Sobolev's inequality for /p/ 204 (1)
Sobolev inequalities in 1 and 2 dimensions 205 (3)
Weak convergence implies strong convergence 208 (4)
on small sets
Weak convergence implies a.e. convergence 212 (1)
Sobolev inequalities for Wm,p(Ω) 213 (1)
Rellich-Kondrashov theorem 214 (1)
Nonzero weak convergence after translations 215 (3)
Poincare's inequalities for Wm,p(Ω) 218 (1)
Poincare-Sobolev inequality for Wm,p(Ω) 219 (1)
Nash's inequality 220 (3)
The logarithmic Sobolev inequality 223 (2)
A glance at contraction semigroups 225 (2)
Equivalence of Nash's inequality and 227 (2)
smoothing estimates
Application to the heat equation 229 (3)
Derivation of the heat kernel via 232 (5)
logarithmic Sobolev inequalities
Exercises 235 (2)
Potential Theory and Coulomb Energies 237 (20)
Introduction 237 (1)
Definition of harmonic, subharmonic, and 238 (1)
superharmonic functions
Properties of harmonic, subharmonic, and 239 (4)
superharmonic functions
The strong maximum principle 243 (2)
Harnack's inequality 245 (1)
Subharmonic functions are potentials 246 (2)
Spherical charge distributions are 248 (2)
'equivalent' to point charges
Positivity properties of the Coulomb energy 250 (1)
Mean value inequality for Δ -- μ2 251 (3)
Lower bounds on Schrodinger 'wave' functions 254 (1)
Unique solution of Yukawa's equation 255 (2)
Exercises 256 (1)
Regularity of Solutions of Poisson's Equation 257 (10)
Introduction 257 (3)
Continuity and first differentiability of 260 (2)
solutions of Poisson's equation
Higher differentiability of solutions of 262 (5)
Poisson's equation
Introduction to the Calculus of Variations 267 (32)
Introduction 267 (2)
Schrodinger's equation 269 (1)
Domination of the potential energy by the 270 (4)
kinetic energy
Weak continuity of the potential energy 274 (1)
Existence of a minimizer for EO 275 (3)
Higher eigenvalues and eigenfunctions 278 (1)
Regularity of solutions 279 (1)
Uniqueness of minimizers 280 (1)
Uniqueness of positive solutions 281 (1)
The hydrogen atom 282 (2)
The Thomas-Fermi problem 284 (1)
Existence of an unconstrained Thomas-Fermi 285 (1)
minimizer
Thomas-Fermi equation 286 (1)
The Thomas-Fermi minimizer 287 (2)
The capacitor problem 289 (4)
Solution of the capacitor problem 293 (3)
Balls have smallest capacity 296 (3)
Exercises 297 (2)
More about Eigenvalues 299 (32)
Min-max principles 300 (2)
Generalized min-max 302 (2)
Bound for eigenvalue sums in a domain 304 (2)
Bound for Schrodinger eigenvalue sums 306 (5)
Kinetic energy with antisymmetry 311 (3)
The semiclassical approximation 314 (2)
Definition of coherent states 316 (1)
Resolution of the identity 317 (2)
Representation of the nonrelativistic 319 (1)
kinetic energy
Bounds for the relativistic kinetic energy 319 (1)
Large N eigenvalue sums in a domain 320 (3)
Large N asymptotics of Schrodinger 323 (8)
eigenvalue sums
Exercises 327 (4)
List of Symbols 331 (4)
References 335 (6)
Index 341

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